Beweis für Praktiker
Bisher wurden mittels "brute force" alle Zahlen bis 268 durchprobiert, ohne eine einzige zu finden, für die die Collatz-Vermutung nicht zutrifft.
Auf Grundlage dieser Tatsache wird fast jeder praktisch denkende Mensch zum Schluss kommen, dass die Vermutung hinreichend sicher bewiesen ist.
Man kann aber auch noch den Trend der Entwicklung der Pfadlänge
Wenn man nun eine Reihe ungerader Zahlen und deren Pfadlänge
Wie machen es andere Leute, wenn sie mehr Tests durchführen müssen, als Ressourcen vorhanden sind? Und wenn davon auszugehen ist, dass das Ergebnis der meisten Tests negativ ist und nur das Ergebnis von wenigen oder keinen Tests positiv? So war es zum Beispiel vor einem reichlichen Jahr beim Beginn der Corona-Pandemie. Manche Labore haben dann einfach einen Teil von mehreren Proben zusammen gemischt und diese Mischung untersucht. War sie negativ, war alles ok, war sie positiv, mussten die einzelnen Proben doch noch untersucht werden, um die positive(n) Probe(n) zu identifizieren. Es wurde also erst mal der Mittelwert mehrerer Proben gebildet.
So machen wir es auch. Allerdings ist es entscheidend, die Größe der Zahlenbereiche, von deren Pfadlänge
Fasst man zum Beispiel
Die Lösung besteht darin, keine gleich großen Zahlenblöcke zu bilden, über die gemittelt wird. Da oft gilt
Es entsteht folgende Tabelle:
1 | 2 | 3 | 3 | 1 | 2 | 2 |
2 | 4 | 5 | 7 | 2 | 6 | 3 |
3 | 8 | 9 | 15 | 4 | 17 | 4,25 |
4 | 16 | 17 | 31 | 8 | 106 | 13,25 |
5 | 32 | 33 | 63 | 16 | 240 | 15 |
6 | 64 | 65 | 127 | 32 | 589 | 18,40625 |
7 | 128 | 129 | 255 | 64 | 1326 | 20,71875 |
8 | 256 | 257 | 511 | 128 | 2803 | 21,8984375 |
9 | 512 | 513 | 1023 | 256 | 6284 | 24,546875 |
10 | 1024 | 1025 | 2047 | 512 | 14064 | 27,46875 |
11 | 2048 | 2049 | 4095 | 1024 | 30861 | 30,1376953125 |
12 | 4096 | 4097 | 8191 | 2048 | 66061 | 32,25634765625 |
13 | 8192 | 8193 | 16383 | 4096 | 140076 | 34,1982421875 |
14 | 16384 | 16385 | 32767 | 8192 | 297125 | 36,2701416015625 |
15 | 32768 | 32769 | 65535 | 16384 | 636005 | 38,8186645507812 |
16 | 65536 | 65537 | 131071 | 32768 | 1355579 | 41,3689880371094 |
17 | 131072 | 131073 | 262143 | 65536 | 2869444 | 43,7842407226563 |
18 | 262144 | 262145 | 524287 | 131072 | 6054704 | 46,1937255859375 |
19 | 524288 | 524289 | 1048575 | 262144 | 12720264 | 48,5239562988281 |
20 | 1048576 | 1048577 | 2097151 | 524288 | 26695392 | 50,9174194335938 |
21 | 2097152 | 2097153 | 4194303 | 1048576 | 55918743 | 53,3282690048218 |
22 | 4194304 | 4194305 | 8388607 | 2097152 | 116846879 | 55,7169337272644 |
23 | 8388608 | 8388609 | 16777215 | 4194304 | 243827113 | 58,1329138278961 |
24 | 16777216 | 16777217 | 33554431 | 8388608 | 507891910 | 60,5454337596893 |
25 | 33554432 | 33554433 | 67108863 | 16777216 | 1056081284 | 62,9473497867584 |
26 | 67108864 | 67108865 | 134217727 | 33554432 | 2193314958 | 65,3658794760704 |
27 | 134217728 | 134217729 | 268435455 | 67108864 | 4548270861 | 67,7745172530413 |
28 | 268435456 | 268435457 | 536870911 | 134217728 | 9419543020 | 70,1810644567013 |
29 | 536870912 | 536870913 | 1073741823 | 268435456 | 19485982261 | 72,5909406729043 |
30 | 1073741824 | 1073741825 | 2147483647 | 536870912 | 40264966142 | 74,999343868345 |
31 | 2147483648 | 2147483649 | 4294967295 | 1073741824 | 83115162770 | 77,407027380541 |
32 | 4294967296 | 4294967297 | 8589934591 | 2147483648 | 171404736417 | 79,816550210584 |
33 | 8589934592 | 8589934593 | 17179869183 | 4294967296 | 353159635993 | 82,2263853608165 |
Die Tabelle enthält folgende Spalten:
Spalte | Wert | Bedeutung |
---|---|---|
2 | Beginn des Zahlenbereichs | |
3 | kleinste ungerade Zahl des Zahlenbereichs | |
4 | größte ungerade Zahl des Zahlenbereichs | |
5 | Anzahl der ungeraden Zahlen im Zahlenbereich: |
|
6 | Summe der Pfadlängen für alle ungerade Zahlen im Zahlenbereich: |
|
7 | Mittelwert der Pfadlängen für alle ungerade Zahlen im Zahlenbereich: |
Nun zeichnen wir die berechneten Mittelwerte in ein Diagramm:
Das sieht doch schon mal gut aus. Der Mittelwert steigt stetig an. Aber kann er auf unendlich steigen, bevor x unendlich wird?
Eine Analyse der Differenzen benachbarter Mittelwerte (also im Prinzip die erste Ableitung) bringt uns weiter:
Zur Kontrolle bilden wir von den Differenzen benachbarter Werte nochmals die Differenz (das entspricht der 2. Ableitung):
Aus diesen Kurvenverläufen kann man folgern, dass die Collatz-Vermutung wahr ist.
Angenommen, die Collatz-Vermutung sei falsch.
Dann sei
Weiter sei
Dann müsste auch die Differenz
Und schließlich müsste dann auch
Das alles lässt sich mit dem Verlauf der Kurven nicht vereinbaren, zumal es ja im Bereich der natürlichen Zahlen auch oberhalb von