Eigenschaften der H-Funktion
Legende
Die Tabelle zeigt die Verteilung der Pfadlänge `bb "P"_H(n)` für die ungeraden Zahlen von 17 bis 16383. Für Zahlen zwischen verschiedenen 2er-Potenzen werden unterschiedliche Farben verwendet.
Die x-Achse wurde so angepasst, dass der Bereich jeder 2er-Potenz die ganze Breite ausfüllt.
Die y-Achse zeigt `bb "P"_H(n)`.
Was beobachten wir?
Die `bb "P"_H(n)`-Werte der Zahlen einer 2er-Potenz überdecken im Prinzip die der vorhergehenden 2er-Potenz, zusätzlich kommen neue Werte hinzu, da sich ja die Anzahl der Zahlen mit jeder 2er-Potenz verdoppelt.
Lemma 4
Für alle `n in NN; n mod 2 -= 1` gilt: `bb "P"_H(4n + 1) -= bb "P"_H(n)`
Es sei `x = 4n + 1`
Dann gilt
`bb "H"(n) = bb "S"(3n + 1)`
`bb "H"(x) = bb "S"(3x + 1) = bb "S"(3(4n + 1) + 1) = bb "S"(12n + 4) = bb "S"(4(3n + 1)) = bb "S"(3n + 1) = bb "H"(n) `
Nun sollte auch klar sein, wieso die `bb "P"_H(n)`-Werte der Zahlen einer 2er-Potenz nur "im Prinzip" die der vorhergehenden 2er-Potenz decken. Bei großen Zahlen kann man die `1` im Term `4n + 1` vernachlässigen, bei kleinen Zahlen dagegen nicht. So erklärt sich, wieso im Diagramm einige Werte unter 100 nicht übermalt werden.
Für jede 4. ungerade Zahl n, kann man also `bb "H"(n)` direkt bei einer kleineren Zahl nachschauen, falls deren Wert vorliegt. Für die 3 ungeraden Zahlen dazwischen geht das nicht so einfach.
Lemma 5
Für über 60 % der Zahlen `n in NN; n mod 2 -= 1` gilt: `bb "P"_H(2n + 1)` = `bb "P"_H(n)`
Eine Systematik, anhand derer man berechnen kann, für welche Zahlen diese Regel zutrifft und für welche nicht, ist noch nicht gefunden.
Lemma 6
Die Zahlen `n` und `4n + 1` können sich niemals im identischen Pfad befinden.
Dieses Lemma ist eine logische Schlussfolgerung aus Lemma 4, denn alle Zahlen im gleichen Pfad haben eine unterschiedliche Pfadlänge.
Lemma 7a
Sollte die Collatz-Vermutung falsch sein, müsste es unendlich viele Zahlen geben, für die gilt `bb "P"_H(n) = oo`
Dieses Lemma ist eine logische Schlussfolgerung aus Lemma 4, welches besagt, dass für alle ungeraden `n` die Pfadlänge von `n` und von `4n + 1` gleich ist.
Lemma 7b
Sollte die Collatz-Vermutung falsch sein, müsste es unendlich viele Pfade geben, die nicht bei der Zahl 1 enden.
Dieses Lemma ist eine logische Schlussfolgerung aus den Lemmas 4 und 6.